Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} a & b c & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 & i x & y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & i z & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a & b \\ c & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 0 & i \\ x & y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & i \\ z & 0 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez

[\begin{matrix} a & b c & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & i x & y \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a & b \\ c & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & i \\ x & y \end{array}]$ .

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Étape 1.1

Deux matrices peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Dans ce cas, la première matrice est

2 \times 2

$2 \times 2$ et la deuxième matrice est

2 \times 2

$2 \times 2$ .

Étape 1.2

Multipliez chaque ligne dans la première matrice par chaque colonne dans la deuxième matrice.

[\begin{matrix} a \cdot 0 + b x & a i + b y c \cdot 0 + 0 x & c i + 0 y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & i z & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} a \cdot 0 + b x & a i + b y \\ c \cdot 0 + 0 x & c i + 0 y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & i \\ z & 0 \end{array}]$

Étape 1.3

Simplifiez chaque élément de la matrice en multipliant toutes les expressions.

[\begin{matrix} b x & a i + b y 0 & c i \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & i z & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} b x & a i + b y \\ 0 & c i \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & i \\ z & 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} b x & a i + b y 0 & c i \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & i z & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} b x & a i + b y \\ 0 & c i \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 & i \\ z & 0 \end{array}]$

Étape 2

Écrivez comme un système linéaire d’équations.

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

0 = z

$0 = z$

c i = 0

$c i = 0$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

z = 0

$z = 0$ .

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans

c i = 0

$c i = 0$ par

i

$i$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans

c i = 0

$c i = 0$ par

i

$i$ .

\frac{c i}{i} = \frac{0}{i}

$\frac{c i}{i} = \frac{0}{i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de

i

$i$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{c i}{i} = \frac{0}{i}

$\frac{c i}{i} = \frac{0}{i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez

c

$c$ par

1

$1$ .

c = \frac{0}{i}

$c = \frac{0}{i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

c = \frac{0}{i}

$c = \frac{0}{i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

c = \frac{0}{i}

$c = \frac{0}{i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{0}{i}

$\frac{0}{i}$ par le conjugué de

i

$i$ pour rendre le dénominateur réel.

c = \frac{0}{i} \cdot \frac{i}{i}

$c = \frac{0}{i} \cdot \frac{i}{i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2

Multipliez.

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Étape 3.2.3.2.1

Associez.

c = \frac{0 i}{i i}

$c = \frac{0 i}{i i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2.2

Multipliez

0

$0$ par

i

$i$ .

c = \frac{0}{i i}

$c = \frac{0}{i i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.3.2.3.1

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

c = \frac{0}{i i}

$c = \frac{0}{i i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2.3.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

c = \frac{0}{i i}

$c = \frac{0}{i i}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2.3.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

c = \frac{0}{i^{1 + 1}}

$c = \frac{0}{i^{1 + 1}}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2.3.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

c = \frac{0}{i^{2}}

$c = \frac{0}{i^{2}}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.2.3.5

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

c = \frac{0}{- 1}

$c = \frac{0}{- 1}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

c = \frac{0}{- 1}

$c = \frac{0}{- 1}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

c = \frac{0}{- 1}

$c = \frac{0}{- 1}$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.2.3.3

Divisez

0

$0$ par

- 1

$- 1$ .

c = 0

$c = 0$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

c = 0

$c = 0$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

c = 0

$c = 0$

b x = 0

$b x = 0$

a i + b y = i

$a i + b y = i$

z = 0

$z = 0$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Remettez dans l’ordre

a i

$a i$ et

b y

$b y$ .

b y + a i = i, c = 0, b x = 0, z = 0

$b y + a i = i, c = 0, b x = 0, z = 0$

b y + a i = i, c = 0, b x = 0, z = 0

$b y + a i = i, c = 0, b x = 0, z = 0$

b y + a i = i, c = 0, b x = 0, z = 0

$b y + a i = i, c = 0, b x = 0, z = 0$